Abstrakt
DOI: http://doi.org/10.26333/sts.xxxii2.07KRZYSZTOF WÓJTOWICZ
KATEGORIA WYJAŚNIANIA W FILOZOFII MATEMATYKI KURTA GÖDLA
ST R E S Z C Z E N I E:
Artykuł dotyczy zagadnienia, w jakim sensie można stosować kategorię wyjaśnienia (charakterystyczną raczej dla nauk empirycznych) do interpretacji filozofii matematyki Kurta Gödla. Gödel – jako realista matematyczny – twierdzi bowiem, że w wypadku matematyki mamy do czynienia z niezależnymi od nas faktami. Jednym z owych faktów jest właśnie rozwiązywalność wszystkich dobrze postawionych problemów matematycznych – i ten fakt domaga się wyjaśnienia. Kluczem do zrozumienia stanowiska Gödla jest identyfikacja założeń, na których się opiera: (1) metafizyczny realizm: istnieje uniwersum matematyczne, ma ono charakter obiektywny, niezależny od nas; (2) optymizm epistemologiczny: jesteśmy wyposażeni w wystarczająco dobre środki poznawcze, aby uzyskać wgląd w owo uniwersum. Pojęcie rozwiązania problemu matematycznego Gödel rozumie znacznie szerzej niż jako podanie matematycznego dowodu – chodzi raczej o znalezienie wiarogodnych aksjomatów, prowadzących do rozwiązania. Stawiany w artykule problem analizuję na przykładzie hipotezy kontinuum.
Krzysztof Wójtowicz
Uniwersytet Warszawski
Instytut Filozofii
E-mail: wojtow@uw.edu.pl
ORCID: 0000-0002-1187-8762
Bibliografia
Brumfiel G. W. (1979). Partially Ordered Rings and Semi-Algebraic Geometry. Cambridge: Cambridge University Press.
Easton W. B. (1970). Powers of Regular Cardinals. Annals of Mathematical Logic, 1(2), 139–178.
Ebbinghaus H-D., Fraser C. G., Kanamori A. (2010). Ernst Zermelo. Collected Works. Gesammelte Werke. Vol. I. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.
Ellentuck E. (1975). Gödel’s Square Axioms for the Continuum. Mathematische Annalen, 216(1), 29–33.
Feferman S. (2000). Why the Programs for New Axioms Need to Be Questioned, The Bulletin of Symbolic Logic, 6, 401–413.
Friedman H. (2000). Normal Mathematics Will Need New Axioms, The Bulletin of Symbolic Logic, 6(4), 434–446.
Gödel K. (193?). Undecidable Diophantine Propositions. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 164–175). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1933). The Present Situation in the Foundations of Mathematics. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 45–53). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1939b). Vortrag Göttingen (Lecture at Göttingen). W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 127–155). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1944). Russell’s Mathematical Logic. W: P. A. Schlipp (red.), The philosophy of Bertrand Russell. Library of Living Philosophers, vol. 5 (s. 123–153). La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company. Polskie tłumaczenie: Gödel, K. (2002). Logika matematyczna Russsella. W: R. Murawski (red.), Współczesna filozofia matematyki. Wybór tekstów (s. 77–102). Warszawa: PWN.
Gödel K. (1946). Remarks Before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume II (s. 150–153). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1951). Some Basic Theorems on the Foundations of Mathematics and Their Implications. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 304–323). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1953/9). Is Mathematics Syntax of Language? W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 334–363). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1961). The Modern Development of the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 374–387). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1964). What is Cantor’s Continuum Problem? W: P. Benacerraf, H. Putnam (red.), Philosophy of Mathematics: Selected Readings (s. 258–272). Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc. Polskie tłumaczenie: Gödel, K. (2002). Co to jest Cantora problem kontinuum. W: R. Murawski (red.), Współczesna filozofia matematyki. Wybór tekstów (s. 103–123). Warszawa: PWN.
Gödel K. (1970a). Some Considerations Leading to the Probable Conclusion, That the True Power of the Continuum Is 2. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 420–421). Oxford: Oxford University Press.
Gödel K. (1970b). A Proof of Cantor’s Continuum Hypothesis from a Highly Plausible Axiom About Orders of Growth. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 422–423). Oxford: Oxford University Press.
Hafner J., Mancosu P. (2008). Beyond Unification, W: P. Mancosu (red.), Philosophy of Mathematical Practice, (s. 151–178). Oxford: Oxford University Press.
Hamkins J. D. (2012). The Set-Theoretic Multiverse. Review of Symbolic Logic, 5(3), 416–449.
Hammond A. L. (1983). Matematyka – nasza niedostrzegalna kultura. W: L. A. Steen (red.), Matematyka współczesna. Dwanaście esejów (s. 26–48). Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne.
Hardy G. H. (1929). Mathematical Proof. Mind, 38(149), 1–25.
Hauser K. (2002). Is Cantor’s Continuum Problem Inherently Vague? Philosophia Mathematica, 10(3), 257–292.
Hodges W. (2013). Alan Turing. The Stanford Encyclopedia of Philosophy, pobrane z: https://plato.stanford.edu/archives/win2013/entries/turing/
Kant I. (1957). Krytyka czystego rozumu. Tom I. Warszawa: PWN.
Krajewski S. (2003). Twierdzenie Gödla i jego interpretacje filozoficzne. Warszawa: Wydawnictwo IFiS PAN.
Levy A., Solovay R. M. (1967). Measurable Cardinals and the Continuum Hypothesis. Israel Journal of Mathematics, 5(4), 234–248.
Maddy P. (1988a). Believing the Axioms. I. Journal of Symbolic Logic, 53(2), 481–511.
Maddy P. (1988b). Believing the Axioms. II. Journal of Symbolic Logic, 53(3), 736–764.
Maddy P. (1993) Does V Equal L? Journal of Symbolic Logic, 58(1), 15–41.
Maddy P. (2000). Does Mathematics Need New Axioms? The Bulletin of Symbolic Logic, 6(4), 413–422.
Mancosu P. (2008). Mathematical Explanation: Why It Matters. W: Mancosu P. (red.), Philosophy of Mathematical Practice (s. 134–150). Oxford: Oxford University Press.
Mancosu P. (2018). Explanation in Mathematics. The Stanford Encyclopedia of Philosophy, pobrane z: https://plato.stanford.edu/archives/sum2018/entries/mathematics-explanation/
Marciszewski W. (2018). Does Science Progress towards Ever Higher Solvability through Feedbacks between Insights and Routines? Studia Semiotyczne, 32(2), 153–185.
McCarty D. C. (2004). David Hilbert and Paul du Bois-Reymond: Limits and Ideals. W: Link G. (red.), One Hundred Years of Russell’s Paradox (s. 517–532). Berlin, New York: Walter de Gruyter.
Mordell L. (1959). Reflections of a Mathematician. Montreal: Canadian Mathematical Congress.
Murawski R. (1984). G. Cantora filozofia teorii mnogości. Studia Filozoficzne, 11–12(8–9), 75–88.
Paris J., Harrington L. (1977). A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic. W: J. Barwise (red.), Handbook of Mathematical Logic (s. 1133–1142), Amsterdam: North-Holland.
Pogonowski J. (2006). Projekt logiki infinitarnej Ernsta Zermela. Investigationes Linguisticae, XIV, 18–49.
Purkert W. (1989). Cantor’s Views on the Foundations of Mathematics. W: D. E. Rowe, J. McCleary (red.), The history of modern mathematics. Vol.1 (s. 49–65). San Diego: Academic Press.
Rav Y. (1999). Why Do We Prove Theorems? Philosophia Mathematica, 7(3), 5–41.
Rota G.-C. (1997). The Phenomenology of Mathematical Proof. Synthese, 111(2), 183–196.
Solovay R. M. (1995). Introductory Note to *1970a, *1970b, *1970c. W: S. Feferman (red.), Kurt Gödel: Collected Works: Volume III (s. 405–420). Oxford: Oxford University Press.
Steel J. R. (2000). Mathematics Needs New Axioms. The Bulletin of Symbolic Logic, 6(4), 422–433.
Tieszen R. (1998). Gödel’s Path from the Incompleteness Theorems (1931) to Phenomenology (1961). The Bulletin of Symbolic Logic, 4(2), 181–203.
Wang H. (1987). Reflections on Kurt Gödel, Cambridge: MIT Press.
Wang H. (1996). A logical journey. From Gödel to Philosophy. Cambridge: MIT Press.
Woodin W. H. (1999). The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms and the Nonstationary Ideal. Berlin, New York: de Gruyter.
Woodin W. H. (2001). The Continuum Hypothesis. Parts I and II. Notices of the AMS, 48(6–7), 567–576, 681–690.
Wójtowicz K. (2002). Platonizm matematyczny. Studium filozofii matematyki Kurta Gödla, Tarnów: Biblos.